Малые неполные планы 2^n 3^m (N<=20

361

Здесь приводятся рекомендации по использованию
каталога Вебба , а также предупреждения о его ограничениях. В каталоге собрано около 67 планов, большинство из которых
получено Веббом. Объем некоторых из этих планов чрезвычайно
мал (4, 5, 6 опытов). Читателям следует иметь в виду, что Вебб рассматривал количественные факторы и что его планы позволяют оценивать лишь эффекты парных взаимодействий, включающих трехуровневые факторы вида ALB или AlBl (но не ALBQ или AqBq). Read more

Ортогональные планы главных эффектов: планы 2^n 3^m//16

Можно показать, что все промежуточные планы от 21231 до 2334 получаются из Базового Плана 5, приведенного в книге Аддельмана и Кемпторна. В этом смысле Базовый План 5 является важным вкладом в теорию планирования эксперимента. Единственное, что я могу добавить — это некоторые соображения по системам смешивания для одного из самых сложных среди указанных планов.
Эти результаты мне удалось получить в значительной мере благодаря Марголину, который первым прошел этот трудный путь. Используя методы, более общие (и более экономичные) и свою концепцию «вектор-столбцов с ненулевой суммой», он нашел совокупности смешиваний для плана 2633. Хотя этот массив воспринимается довольно трудно, его польза несомненна. Read more

Смешивание и разделение эффектов

Экспериментаторы, почувствовавшие, что здесь сказано больше, чем им нужно знать, о смешиваниях и разделении эффектов, могут обратиться для справок к очень полезному каталогу и вычислительной программе для планирования и анализа ортогональных симметричных и асимметричных дробных факторных экспериментов, составленным Ханом и Шапиро из фирмы «Дженерал Электрик». С помощью этих материалов удается автоматически оценить все главные эффекты и эффекты парных взаимодействий по результатам любого из планов А—К. Этот каталог особенно полезен при выборе и анализе планов больших размеров.
Хорошие программы для вычисления любых совокупностей смешанных эффектов парных взаимодействий были составлены по крайней мере дважды, но, кажется, не были опубликованы. Read more

Дополнение плана 3^1 2^4//8

Если экспериментатор обнаружит, что один или два эффекта велики, а все остальные имеют значительно меньшую величину, то не будет слишком рискованно интерпретировать результаты как простые аддитивные эффекты факторов. Но если такого четкого разделения нет и, кроме того, неизвестно стандартное отклонение ошибки, я бы настойчиво посоветовал прибавить к ранее проделанным восьми опытам еще восемь. В них используются противоположные уровни двухуровневых факторов, а уровни фактора А заменяются по следующему правилу:

359

В таблице показан новый план, обозначенный как «план 2II», и соответствующие матрицы Х1 и Х2. В нижней части таблицы приведена новая матрица смешивания. Складывая и вычитая пары оценок для Al … Е[(Р—Q)-принцип], удается устранить некоторые смешивания. Read more

Обработка результатов плана 3^1 2^4//8

После реализации плана 3124//8, разумеется, следует обработать восемь полученных результатов по методу Йетса. Затем можно воспользоваться данными чтобы оценить эффекты с помощью простого расчета. Например, при оценивании 4AL следует найти 1/2(С0—ВС0). Систему смешивания для такого плана имеет смысл изучить даже в том случае, когда есть полная уверенность в отсутствии эффектов парных взаимодействий. Из нее отчетливо видно, куда входят эффекты, которые предполагались отсутствующими, и можно установить, где мог бы проявиться каждый имеющийся эффект парного взаимодействия. Читатели могут заметить, что ни один из главных эффектов не смешивается со «своим» эффектом парного взаимодействия, и лишь две пары эффектов взаимодействий двух факторов, а именно эффекты типа АLХ, появляются более чем в одной оценке главного эффекта. Read more

Несколько факторов на нескольких уровнях: план 2^n3^m с разрешающей способностью III,IV,V

Работы Аддельмана и Кемпторна, посвященные ОГЭ-планам, особенно полезны тем экспериментаторам, которым приходится иметь дело с числом факторов более четырех, причем один или несколько из них имеет не менее трех уровней. Вводные 121 страниц самой большой из этих работ заслуживают внимательного изучения. Основное содержание работы составляет перечень базовых планов. Из их числа 26 планов (М=8/81) покрывают значительную часть экспериментальных ситуаций. Нет необходимости повторять здесь содержание многих отличных статей, в которых излагаются способы получения этих планов. Мы предпочтем остановиться на вопросах их использования и анализа. Рассматриваемые ОГЭ-планы не имеют таких простых систем смешиваний, как те, с которыми сталкиваются в дробных репликах, где каждое парное взаимодействие появлялось лишь один раз. Однако эти системы смешивания здесь намного менее запутаны, чем в ПБ-планах.

Преимущества планов Плакетта — Бермана

ПБ-планы обладают тем преимуществом, что каждый эффект парного взаимодействия, если он появляется, входит в контрасты главных эффектов с коэффициентом ±1/3 (а не ±1). Знаки эффектов парных взаимодействий оказываются различными, и их можно определить для контраста любого главного эффекта. Так, для плана с 11 факторами (А, …, L, где буква I пропускается) эффект парного взаимодействия АВ будет входить со знаком плюс в контрасты F, J и К и со знаком минус в контрасты всех остальных эффектов. Тогда, если все 11 контрастов имеют приблизительно одинаковые ненулевые величины, а знаки их равны соответственно     ——    +—++————— ,— можно сказать только одно: это результат влияния парного взаимодействия АВ. Однако из-за присутствия других эффектов и случайной ошибки в общем случае не получится такое легко интерпретируемое сочетание знаков. Думаю, вряд ли имеет смысл приводить существенно нерегулярные сочетания знаков для каждого из контрастов главных эффектов (15 плюсов, 30 минусов). Read more

Планы Плакетта — Бермана

Эти планы рассмотрим первыми, чтобы предупредить экспериментаторов об их чувствительности к нарушению предпосылки об аддитивности всех эффектов факторов. В табл. приведен малый план для 11 факторов, состоящий из 12 опытов. Здесь

358

мы можем быть довольны 100%-й эффективностью оценок всех 11 главных эффектов, но в то же время надо помнить, что при этом «предполагаются отсутствующими» 11X10/2, или 55, эффектов парных взаимодействий. Read more

Неполные факторные планы

В случае планов больших размеров можно выявлять неточности в исходных данных и даже нарушения некоторых основных предпосылок. При проведении исследований на ранее не изучавшихся объектах дробные реплики и полные факторные планы из-за отмеченных преимуществ оказываются предпочтительными, поскольку здесь обычно неизвестна точность эксперимента и возможно появление выбросов в измерениях.

Но некоторые экспериментаторы могут считать указанные особенности не характерными для их текущей работы. Они хорошо знают свой объект исследования, точность измерений постоянна и может быть даже известна, плохие измерения редки и их удается установить техническими методами. В этом случае нет необходимости выделять 10-7-30 степеней свободы для всестороннего анализа данных. Экспериментатор может утверждать, что ему необходим лишь такой план, который позволит получить хорошие оценки только интересующих его параметров и, возможно, некоторые сведения о стабильности этих параметров при изменении ряда других экспериментальных условий в определенном диапазоне. Read more

Дробные реплики планов 3^p

В книге Дэвиса приведены начальные сведения о способах дробления факторных планов 3р. В этой работе указывалось, что «дробные реплики для планов 3р обладают менее удовлетворительными свойствами, чем для планов 2р. Даже при таком малом числе факторов, как четыре, для раздельного оценивания эффектов парных взаимодействий требуется довольно большое число экспериментов». Главная причина неудовлетворительных свойств дробных реплик планов 3р — относительно большое число степеней свободы, требуемых для оценивания парных взаимодействий. Очевидно, что это число в четыре раза больше, чем в плане 2р. К этому необходимо добавить также комбинаторные ограничения, которые приводят к дальнейшему росту числа требуемых опытов.

В классическом каталоге НБС дробных частей планов 3р, подготовленном Коннором и Зеленом, приведены наилучшие планы с разрешающей способностью V. Определим, как и ранее, эффективность степени свободы (э. с. с.) через отношение числа степеней свободы, требуемых для оценивания главных эффектов и парных взаимодействий, к числу опытов в плане. Тогда для наименьших планов с разрешающей способностью V из указанного каталога получим следующие значения э. с. с.:

357

Read more